设函数f（x）=ax2+bx+1（a，b，为实数），F（x）=f(x)(x＞0)-f(x)(x＜0)．

解题思路：（1）由f（-1）=0，知b=a+1．由f（x）≥0恒成立，知△=b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，由此能求出F（x）表达式．
（2）由f（x）=x²+2x+1，知g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）+1．由于g（x）在[-3，3]上是单调函数，能求出实数k的取值范围．

（1）∵f（-1）=0，
∴b=a+1．
由f（x）≥0恒成立，
知△=b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1．
从而f（x）=x²+2x+1．
∴F（x）=

(x+1)2(x＞0)
-(x+1)2(x＜0)．
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）+1．
由于g（x）在[-3，3]上是单调函数，
知-
2-k
2≤-3或-
2-k
2≥3，
解得k≤-4或k≥8．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本昰考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．