如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC．

解题思路：（1）由等弧对等角可得∠MCA=∠MAC，再由等角对等边得AM=MC；
（2）求证△AOM∽△ABC、有AO•AC=AM•AB，而AC=2AO，故有AC²=2AM•AB．

证明：（1）∵弧AD=弧CB，
∴∠MCA=∠MAC．
∴△MAC是等腰三角形．
（2）连接OM，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC=90°．
∵△MAC是等腰三角形，AM=CM，OA=OC，
∴MO⊥AC．
∴∠AOM=∠ABC=Rt△．
∵∠MAO=∠CAB，
∴△AOM∽△ABC．
∴[AB/OA=
AC
AM]
∴AO•AC=AM•AB．
∴AC²=2AM•AB．

点评：
本题考点： 圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题利用了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直径对的圆周角为直角，相似三角形的判定和性质求解．

连接OM，BC,则RT三角形OMA相似于RT三角形CBA,（直角三角形怎么证不用我说了吧），因为相似，所以AB/AC=AO/AM,因为AO=1/2AC,所以AB/AC=AC/2AM,所以AC^2=2AM*AB.（你用笔写下来可能看得清楚一点）

第二问哈
连接OM和BC
由于三角形ACM为等腰三角形
且OM为AC的中线根据三线合一
所以OM垂直于AC即角MOA=90度
又角ABC为直线对应的圆周角故也等于90度等于角MOA
又因为角A等于角A
所以三角形OMA与三角形ABC相似（两内角对应相等）
所以有OA/AB=AM/AC
OA=1/2AC
所以1/2AC^...

答：

连结BC，MO，延长AB至P使得AP=2AB,连结CP

因为AM=CM（第一问的结果）

所以∠AOM=90°=∠ABC

所以△AMO和△ACB相似

所以AM/AO=AC/AB

因为2AO=AC

所以AM/AC=AC/2AB=AC/AP

所以AC^2=AM*AP，而AP=2AB

所以AC^2=2AM*AB