如图所示,半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰,且分别切AB,BC,CD于点A,E,D.
如图所示,半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰,且分别切AB,BC,CD于点A,E,D.
将其绕AD所在直线旋转一周,得到一个球和一个圆台,若球的表面积与圆台的表面积的比是3：4,求圆台的体积.
将其绕AD所在直线旋转一周,得到一个球和一个圆台,若球的表面积与圆台的表面积的比是3：4,求圆台的体积.
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由切线长定理,有：CD＝CE、AB＝BE,∴BC＝CD＋AB.
又球的表面积＝4πR^2,
圆台的表面积＝πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）×BC.
依题意,有：4×4πR^2＝3×［πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）×BC］
∴4×4πR^2＝3×［πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）^2］
∴（16/3）πR^2＝2（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）
∴（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）＝（8/3）πR^2
∴圆台的体积＝（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）×AD/3＝（8/9）π×AD×R^2＝（16/9）πR^3.
又球的表面积＝4πR^2,
圆台的表面积＝πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）×BC.
依题意,有：4×4πR^2＝3×［πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）×BC］
∴4×4πR^2＝3×［πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）^2］
∴（16/3）πR^2＝2（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）
∴（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）＝（8/3）πR^2
∴圆台的体积＝（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）×AD/3＝（8/9）π×AD×R^2＝（16/9）πR^3.
1年前
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