已知函数f(x)=a-1|2x-b|是偶函数，a为实常数．

已知函数f(x)=a-
1
|2x-b|
是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞o）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由．
hmldmen1221 1年前 已收到2个回答 举报
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爱yy爱自己 花朵

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解题思路：（1）先求函数的定义域，由f（x）是偶函数可知定义域D关于原点对称，可求b
（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，结合已知n＞m＞0，可知y=f（x）在区间[m，n]上是增函数，从而有
1-
1
2m
=m
1-
1
2n
=n
]，求解即可判断

（1）∵f(x)=a-
1
|2x-b|函数的定义域为{{x|x≠
1
2b}
∵f（x）是偶函数
故定义域D关于原点对称，即b=0
（（2）由（1）可知，f（x）=a-[1
2|x|定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减
∵n＞m＞0，
∴y=f（x）在区间[m，n]上是增函数．
∴有

1-
1/2m=m
1-
1
2n=n] 即方程1-[1/2x=x，整理可得2x2-2x+1=0
∵△=4-8＜0
∴不存在正实数m，n，满足题意

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查了偶函数的定义的应用，其中定义域关于原点对称是求解b的关键，而函数的单调性的应用是求解（2）的关键

1年前

10

月夜小妖 幼苗

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∵f(―1)﹦f(1)，
∴a－1∕|‐2‐b︳＝a‐1／|2－b|，∴b＝0
∴f﹙x﹚＝1－1／2x，在﹙0，＋∞﹚上单调递增
∴f﹙m﹚＝m，f﹙n﹚＝n，
即1－1／2m＝m，1－1／2n＝n，﹙n＞m＞0﹚
∵方程都无解，∴不存在n，m

1年前

0
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