某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为[4/5]，第二、第三门课程取得优秀成绩
某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为[4/5]，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ） 求数学期望Eξ．
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pi | [6/125] | x | y | [24/125] |
（Ⅱ） 求数学期望Eξ．
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解题思路：（Ⅰ）用Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得P(A1)＝
，P(
1
2
3)＝
，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率．从而能够求出p，q的值．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．
| 4 |
| 5 |
. |
| A |
. |
| A |
. |
| A |
| 6 |
| 125 |
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．
用Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．
由题意得P(A1)＝
4
5，P(
.
A1
.
A2
.
A3)＝
6
125
（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P＝1−P(
.
A1
.
A2
.
A3)＝1−
6
125＝
119
125
P(
.
A1
.
A2
.
A3)＝(1−P(A1))(1−P(A2))(1−P(A3))＝
1
5(1−p)(1−q)＝
6
125
及P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝
4
5pq＝
24
125得p＝
2
5，q＝
3
5．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=[6/125]，
P(ξ＝1)＝
4
5×
3
5×
2
5+
1
5×
2
5×
2
5+
1
5×
3
5×
3
5＝
37
125，P(ξ＝
点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差．
考点点评： 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．
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