一道函数的题目已知α,β是方程4x^2-4kx-1=0 (k∈R)的两个不等实数根,函数f(x)=(2x-k)/(x^2
一道函数的题目
已知α,β是方程4x^2-4kx-1=0 (k∈R)的两个不等实数根,函数f(x)=(2x-k)/(x^2+1)的定义域为[α,β].
(1)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并证明；
（2）记g(x)=maxf(x)-minf(x),若对任意k∈R,恒有g(k)≤a*√(1+k^2)成立,求实数a的取值范围.
或者讲出详细的思路 计算我自己来
已知α,β是方程4x^2-4kx-1=0 (k∈R)的两个不等实数根,函数f(x)=(2x-k)/(x^2+1)的定义域为[α,β].
(1)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并证明；
（2）记g(x)=maxf(x)-minf(x),若对任意k∈R,恒有g(k)≤a*√(1+k^2)成立,求实数a的取值范围.
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已知α、β是方程4x2－4kx－1＝0(k∈R)的两个不等实根,函数f(x)＝2x－kx2＋1的定义域为[α,β]．
(1)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并证明；
(2)记：g(k)＝f(x)max－f(x)min,若对任意k∈R,恒有g(k)≤a1＋k2成立,求实数a的取值范围．
(1)法一：设α≤x10,
∴f(x2)－f(x1)>0,
故f(x)在区间[α,β]上是增函数．
法二：f′(x)＝－2x2＋2kx＋2x2＋12,
x∈[k－k2＋12,k＋k2＋12],
易知：当x∈[α,β]时,4x2－4kx－1≤0,
∴－2x2＋2kx＋2≥32,
∴f′(x)>0,故f(x)在区间[α,β]上是增函数．
(2)g(k)＝f(β)－f(α)
＝k2＋116k2＋4016k2＋25≤a1＋k2恒成立．
a≥16k2＋4016k2＋25＝1＋1516k2＋25,
考虑1516k2＋25的最大值为35,∴a≥85.
(1)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并证明；
(2)记：g(k)＝f(x)max－f(x)min,若对任意k∈R,恒有g(k)≤a1＋k2成立,求实数a的取值范围．
(1)法一：设α≤x10,
∴f(x2)－f(x1)>0,
故f(x)在区间[α,β]上是增函数．
法二：f′(x)＝－2x2＋2kx＋2x2＋12,
x∈[k－k2＋12,k＋k2＋12],
易知：当x∈[α,β]时,4x2－4kx－1≤0,
∴－2x2＋2kx＋2≥32,
∴f′(x)>0,故f(x)在区间[α,β]上是增函数．
(2)g(k)＝f(β)－f(α)
＝k2＋116k2＋4016k2＋25≤a1＋k2恒成立．
a≥16k2＋4016k2＋25＝1＋1516k2＋25,
考虑1516k2＋25的最大值为35,∴a≥85.
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