为什么行列式中某行(列)的k倍加另一行(列),其值不变.

行和列的证明方法一样,我们只考虑列.
用b1,b2,...,bn表示行列式的列,原来的行列式是|b1,...,bn|,新行列式是|b1,...,(bi+ k bj),...,bn|.
根据行列式的线性性,
|b1,...,(bi+ k bj),...,bn| = |b1,...,bi,...,bn| + k |b1,...,bj,...,bn|.
其中第二个式子中的bj在第i列,或者第二个式子的第i列和第j列相同,都是bj.
现在我们只要证明下边的命题就可以了：
引理：一个行列式中有两列相同,那么行列式的值为零.
这个引理可以用定义直接简单地证明,也可以这样证：因为交换行列式A的两列得到的行列式的值是原来的相反数-A,而现在这个行列式第i列和第j列相同,交换这两列得到的行列式还是原来的行列式A.A=-A,所以A=0.

某行(列)为另一列的K倍，则该行列式为0，某行(列)的k倍加另一行(列)=0+原行列式，其值不变