设函数f(x)＝log2(1+x1−ax)（a∈R），若f(−13)＝−1．

设函数f(x)＝log2(
1+x
1−ax
)（a∈R），若f(−
1
3
)＝−1．
（1）求f（x）解析式并判断其奇偶性；
（2）当x∈[-1，0）时，求f（3x）的值域；
（3）g(x)＝log
2
1+x
k
，若x∈[
1
2
，
2
3
]时，f（x）≤g（x）有解，求实数k取值集合．
windover 1年前 已收到1个回答 举报
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qq516 幼苗

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解题思路：（1）由f(−
1
3
)＝−1求得a的值，可得f（x）的解析式，求得它的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（2）由f（x）的解析式求得f（3x）的解析式，再利用不等式的性质求得它的值域．
（3）由条件可得
1+x
1−x
≤(
1+x
k
)2，根据
1
2
≤x≤
2
3]，可得x+1＞0．根据 h（x）=1-x2 在[[1/2]，[3/2]]上是减函数，求得h（x）的最大值，可得k2≤[3/4]．又由g（x）定义域知k＞0，从而求得k的范围．

（1）由于f(−
1
3)＝log2
1−
1
3
1+
a
3＝−1，∴

2
3
1+
a
3＝
1
2，即[4/3＝1+
a
3]，解得a=1，
∴f(x)＝log2
1+x
1−x．
再由 [1+x/1−x]＞0，求得-1＜x＜1
，∴定义域为（-1，1），定义域关于原点对称．
再根据f(−x)＝log2
1−x
1+x＝log2(
1+x
1−x)−1＝−log2
1+x
1−x=-f（x）
∴f（x）为奇函数．-----（3分）
（2）f（x）=log2(−1−
2
x−1)，∴f(3x)＝log2(−1−
2
3x−1)．
∵-1≤x＜0，∴-[2/3]≤3x-1＜0，∴[2
3x−1≤-3，即-
2
3x−1≥3，
∴−1−
2
3x−1≥2，∴log2(−1−
2
3x−1)≥log22＝1，
∴值域为[1，+∞）．-----（7分）
（3）∵log2
1+x/1−x≤log

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法；幂函数的性质．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性的判断，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值域，属于中档题．

1年前

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