已知圆O的方程为x2+y2=4．

解题思路：（1）设出过点P（1，2）的直线方程，利用直线与圆O相切的推出关系式，即可求出直线方程；
（2）通过直线m与x轴垂直，与不垂直，两种情况，利用圆心距半径半弦长关系，即可求直线m的方程；
（3）设Q点的坐标为（x，y），圆O上有一动点M（x₀，y₀），通过

ON

＝(2x0，y0)，以及

OQ

＝2

OM

+

1

2

ON

，得到Q，M点的关系，通过M在圆上，即可求动点Q的轨迹方程，然后说明此轨迹是椭圆．

解　（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y-2=k（x-1），
则由
|2−k|

k2+1=2，得k₁=0，k₂=-[4/3]，
从而所求的切线方程为y=2和4x+3y-10=0．
（2）当直线m垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，m与圆的两个交点坐标为（1，
3）和
（1，-
3），这两点的距离为2
3，满足题意；当直线m不垂直于x轴时，设其方程为
y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，设圆心到此直线的距离为d（d＞0），
则2
3=2
4−d2，得d=1，从而1=
|−k+2|

k2+1，得k=[3/4]，此时直线方程为3x-4y+5=0，综上所述，所求直线m的方程为3x-4y+5=0或x=1．
（3）设Q点的坐标为（x，y），M点坐标是（x₀，y₀

点评：
本题考点： 轨迹方程；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．