如图,直线OB与直线BC交于点B,直线BC交x轴于点C,点B坐标为（2,2倍的根号3）,且角BCO=60度,OE垂直BC
如图,直线OB与直线BC交于点B,直线BC交x轴于点C,点B坐标为（2,2倍的根号3）,且角BCO=60度,OE垂直BC于点E,过B作AB平行x轴交y轴于点A,动点P从点E出发,沿线段EO向O运动,动点Q从点O出发,沿线段OA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,设点P运动时间为t秒,
（1）求线段OE的长；
（2）若三角形OPQ的面积为S（平方单位）,求S与t之间的函数关系式,并求t为何值时,三角形OPQ的面积最大,最大值时多少?
（3）设PQ与OB交于点M,当三角形OPM为等腰三角形时,求（2）中S的值.
（图形是直角坐标系右上几个三角形）
（1）求线段OE的长；
（2）若三角形OPQ的面积为S（平方单位）,求S与t之间的函数关系式,并求t为何值时,三角形OPQ的面积最大,最大值时多少?
（3）设PQ与OB交于点M,当三角形OPM为等腰三角形时,求（2）中S的值.
（图形是直角坐标系右上几个三角形）
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解,（1）由于∠BCO=60º,所,斜率k(BC)=-√3,因此,BC的直线方程为y=-√3x+4√3
当y=0时,x=4,也就是,OC=4,OE=OC*sin60º=2√3
(2)过P点做PF⊥X轴,垂足为F,所以,三角形OPQ的面积S=OQ*OF/2
OQ=PE=t,那么OP=OE-PE=2√3-t,OF=OPsin60º=√3(2√3-t)/2
S(△OPQ)=√3(2√3-t)/2*t/2=√3t(2√3-t)/4
当,t=2√3-t,即t=√3时,面积S最大,此时,S=3√3/4
(3) 通过计算可以得到,OB=OC=BC=4,故OBC是一个等边三角形,
∠BOC=60º,又∠EOC=30º
所以,∠BOE=∠BOC-∠EOC=30º
又三角形OPM为等腰三角形,
①假设,OM=MP,那么,∠OMP=180º-2*30º=120º,
又,∠ABO=∠BOC=60º
所以,∠AQP=90º,也即是,PQ⊥Y轴,
所以,OM=2t/√3,
又,OM=(OP/2)/cos30º=2-√3t/3,此时,t=2√3/3
S=2√3/3
②假设,OM=OP,此时,∠OMP=∠OPM=75º
OQ=t,那么,OM/sin45º=OQ/sin105º
所以,OM=(√3-1)t
在三角形OMP中,OP=2√3-t
故,t(√3-1)=2√3-t,解出,t=2
S=√3t(2√3-t)/4=3-√3
当y=0时,x=4,也就是,OC=4,OE=OC*sin60º=2√3
(2)过P点做PF⊥X轴,垂足为F,所以,三角形OPQ的面积S=OQ*OF/2
OQ=PE=t,那么OP=OE-PE=2√3-t,OF=OPsin60º=√3(2√3-t)/2
S(△OPQ)=√3(2√3-t)/2*t/2=√3t(2√3-t)/4
当,t=2√3-t,即t=√3时,面积S最大,此时,S=3√3/4
(3) 通过计算可以得到,OB=OC=BC=4,故OBC是一个等边三角形,
∠BOC=60º,又∠EOC=30º
所以,∠BOE=∠BOC-∠EOC=30º
又三角形OPM为等腰三角形,
①假设,OM=MP,那么,∠OMP=180º-2*30º=120º,
又,∠ABO=∠BOC=60º
所以,∠AQP=90º,也即是,PQ⊥Y轴,
所以,OM=2t/√3,
又,OM=(OP/2)/cos30º=2-√3t/3,此时,t=2√3/3
S=2√3/3
②假设,OM=OP,此时,∠OMP=∠OPM=75º
OQ=t,那么,OM/sin45º=OQ/sin105º
所以,OM=(√3-1)t
在三角形OMP中,OP=2√3-t
故,t(√3-1)=2√3-t,解出,t=2
S=√3t(2√3-t)/4=3-√3
1年前
4
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