（2009•河池）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．

解题思路：（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，∴∠AOC=60°
（2）由CP与⊙O相切，OC是半径．得CP⊥OC∴∠P=90°-∠AOC=30°∴PO=2 CO=8
（3）如图，当S_△MAO=S_△CAO时，动点M的位置有四种．
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，
③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，
④当点M运动到C时，M与C重合，
求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．

（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°．

（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=[1/2]PO=4，
则PO=2CO=8；

（3）如图，（每找出一点并求出弧长得1分）
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴

AM1＝
4π
180°×60°＝
4
3π
∴当点M运动到M₁时，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为
4
3π．

②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴

AM2＝
4π
3×2＝
8
3π或

AM2＝
4π
180°×120°＝
8
3π
∴当点M运动到M₂时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为
8
3π．

③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴

AM2M3＝
4π
180°×240°＝
16
3π或

AM2M3＝
8π
3×2＝
16
3π
∴当点M运动到M₃时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为
16
3π．

④当点M运动到C时，M与C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为
4π
180°×300°＝
20
3π或
16
3π+
4
3π＝
20
3π．

点评：
本题考点： 弧长的计算；切线的性质．

考点点评： 本题利用了等边三角形的判定和性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质求解．