柯西收敛证明教授们.救人一命胜造七级浮屠啊

梓轩TT 1年前已收到1个回答举报

共回答了23个问题采纳率：100% 举报

1
设fn+1(t)-g(t)=1/2sint[fn(t)-g(t)]
即fn+1(t)=1/2sintfn(t)+g(t)[1-1/2sint]
与原函数对照得到g(t)=2cost/(2-sint)
所以fn+1(t)-2cost/(2-sint)=1/2sint[fn(t)-2cost/(2-sint)]
所以fn(t)-2cost/(2-sint)=1/2sint[f(n-1)(t)-2cost/(2-sint)]=(1/2sint)^2[f(n-2)(t)-2cost/(2-sint)]
=.=(1/2sint)^n[f(n-n)(t)-2cost/(2-sint)]=(1/2sint)^n[f0(t)-2cost/(2-sint)]
=(1/2sint)^n[e^t-2cost/(2-sint)]
即
fn(t)=2cost/(2-sint)+(1/2sint)^n[e^t-2cost/(2-sint)]
因为|1/2sint|

1年前追问

梓轩TT 举报

为什么可以和原函数对照呢

举报刘5科科斗

原数列不是fn+1(t)=cos(t)+1/2sintfn(t), 然后令cost=g(t)[1-1/2sint]。就能求出g(t)了。。。第二题做的不对，那个picard iterates是什么呀

梓轩TT 举报

就是看不懂……说下思路，。 picard iterates 是一个迭代方法也是求趋近的Y值

举报刘5科科斗

原来的数列函数不是fn(t)么，我是想找出一个g(t)，构造一个新的数列函数Tn(t)=fn(t)-g(t), 使得T(n+1)(t)=1/2sint Tn(t),,,,,也就是fn+1(t)-g(t)=1/2sint [fn(t)-g(t)]。我举个例子如果a=nb+c, 找出一个t使得a+t=n(b+t), 然后这个t等于啥呢？就得把a+t=n(b+t)和原来的式子a=nb+c对照，求出这个t 就是然后这样逐项的推，fn(t)-2cost/(2-sint)=1/2sint[f(n-1)(t)-2cost/(2-sint)]=(1/2sint)^2[f(n-2)(t)-2cost/(2-sint)]................. 最终能得到fn(t)的表达式。。

梓轩TT 举报

这样啊其实应该用柯西证明 K 小于 1

举报刘5科科斗

K是什么呀，是那个1/2sint么

梓轩TT 举报

| Yn+1-Yn | 小于等于 K | Yn - Yn-1 | ， K 小于1 大于 0 找到这个K

梓轩TT 举报

就证明了

举报刘5科科斗

这就更简单了呀，f(n+1)(t)=cos(t)+1/2sint fn(t), 那么把n换成n-1，所以fn(t)=cos(t)+1/2sint f(n-1)(t) 两个式子相减得到了，f(n+1)(t)-fn(t)=1/2sint [fn(t)-f(n-1)(t)]，|k|=|1/2sint|<=1/2<1

梓轩TT 举报

…不是吧这么简单我没看出来…… 我真的吐血了…… 那这样怎么求极限呢

举报刘5科科斗

令f(t)=limf(n+1)(t)=limfn(t)，原式两边取n的极限，变成了f(t)=cos(t)+1/2sint f(t)，解得limfn(t)=f(t)=2cost/(2-sint)

梓轩TT 举报

谢谢了另外一个问题如果我想证明 sum ，k ，0 到无穷，Im（imagine）（e^ik） / sin（k）收敛，为什么只用证明 e^i的模小于1 就行了？

举报刘5科科斗

手机拍个图传上来吧，e^ik/ sink的话，是e^(ik)=cosk+isink,所以IM(e^ik/ sink)=IM[(cosk/sink)+i]=1 所以sum(1)是不收敛的

梓轩TT 举报

错啦抱歉原式是 sink / （2^k）用复数证明收敛

举报刘5科科斗

sink/(2^k)=IM(e^(ik)/2^k)=IM[(e^i/2)]^k，所以只要sum[(e^i/2)]^k收敛了，那么他的虚部sink/(2^k)就一定收敛。 sum[(e^i/2)]^k，就相当于一个以e^i/2为公比，以1为首项的等比数列求和。。。所以只要公比的模|q|<1, 就收敛，收敛于1/(1-q)。因为|e^i|=|cos1+isin1|=1, 所以|e^i/2|=1/2<1, 那么sum[(e^i/2)]^k收敛， sum[(e^i/2)]^k=1/(1-e^i/2)=2/(2-e^i)=2/(2-cos1-isin1)=[4-2sin1+i(2sin1)]/(5-2cos1) 因为sink/(2^k)=IM(e^(ik)/2^k)，所以sum[sink/(2^k)]=Im[(e^(ik)/2^k)]=2sin1/(5-2cos1)

梓轩TT 举报

就是不明白明明求的是e^i 关模什么事

举报刘5科科斗

哦，等比数列求无限个项的和，你有印象么？公比的绝对值|q|<1才收敛，在复数范围，绝对值就是模了

梓轩TT 举报

复数里不是说根号下x^2+y^2 等于模吗。和光加个绝对值根本不一样啊怎能相等……

举报刘5科科斗

e^(i)=cos1+isin1, 所以|e^(i)|=|cos1+isin1|=√[(cos1)^2+(sin1)^2]=1，，，，，这不就是么。

梓轩TT 举报

但是感觉这里绝对值符号的意义改变了啊

举报刘5科科斗

没有变，实数的绝对值表示的是数字到原点的距离，复数的绝对值表示的也是复平面上的数字到原点的距离。。。