计算∫∫yzdzdx+2dxdy,其中∑是上半球面z=√(4-x^2-y^2)的上侧

zhulingf 1年前 已收到2个回答 举报

一无所知的人 幼苗

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添加∑1:z=0下侧,由高斯公式:
∫∫∑+∑1=∫∫∫zdxdydz
∫∫∑=-∫∫(∑1)2dxdy+∫∫∫zdxdydz
=8π+(1/2)∫∫(4-x^2-y^2)dxdy
=8π+(1/2)∫(0,2π)dθ∫(0,2)r(4-r^2)dr
=8π+π∫(0,2)(4r-r^3)dr
=12π

1年前

4

流浪风雨中 幼苗

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方法一:高斯公式。
补充平面∑1:z=0(x^2+y^2≤4),取上侧。则∫∫(∑-∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫∫(z+0)dxdydz=4π。∫∫(∑1) yzdzdx+2dxdy=∫∫(∑) 2dxdy=2×4π=8π。所以∫∫(∑) yzdzdx+2dxdy=4π+8π=12π。

方法二:上半球面上侧的法向量n=(x,y,z),所以dzdx=y/zdxd...

1年前

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