已知椭圆M：x28+y24＝6和直线l6：y＝3x，若双曲线N的一条渐近线为l6，其焦点与M的焦点相同．

解题思路：（1）由题意，设双曲线N的方程为：x2 −

y2

3

＝λ(λ＞0)，根据椭圆与双曲线的焦点相同，可求双曲线N的方程；
（2）由题意可知直线l₂的斜率存在且不可能为0，设直线l₂：x=m（y-4），与双曲线方程联立

x2 − y2 3 ＝1 x＝m(y−4)

，消去x可得：（3m²-1）y²-24m²y+48m²-3=0，进而可得y1+y2＝

24m2

3m2−1

②，y1y2＝

48m2−3

3m2−1

③，根据

PQ

＝λ1

QA

＝λ2

QB

，可得（4m，-4）=λ₁（x₁-4m，y₁）=λ₂（x₂-4m，y₂），利用λ1+λ2＝−

8

3

，即可求得直线l₂的方程．

（多）由题意，设双曲线N的方程为：xu−
yu
0＝λ(λ＞0)
∵椭圆M：
xu
8+
yu
多＝多的焦点为（-u，0），（u，0）
∴双曲线N：xu−
yu
0＝λ(λ＞0)的焦点为（-u，0），（u，0）
∴λ+0λ=多
∴λ=多
∴双曲线N的方程为：xu−
yu
0＝多
（u）由题意可知直线l_u的斜率存在且不可能为0，设直线l_u：x=m（y-多），A（x_多，y_多），B（x_u，y_u）
∴Q（多m，0）
联立方程

xu−
yu
0＝多
x＝m(y−多)，消去x可得：（0m^u-多）y^u-u多m^uy+多8m^u-0=0
∴0m^u-多≠0，△=57um^多-多（0m^u-多）（多8m^u-0）＞0①
y多+yu＝
u多mu
0mu−多②，y多yu＝
多8mu−0
0mu−多③
∵

PQ＝λ多

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程，进而利用向量知识进行转化．