（2008•宝山区二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+3和2
（2008•宝山区二模）已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 3 |
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
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解题思路：（1）由椭圆的几何性质可得焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入即可．
（2）斜率k的取值范围，须将k用其它参数表示，先设直线l的方程，代入椭圆方程，求x1+x2和x1x2，再根据∠AOB为锐角得到向量
，
的数量积大于0，用直线l的斜率k表示
，
的数量积，即可得到k的范围．
（3）先根据椭圆的对称性判断PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．设四边形PQSR的一条对角线的方程，根据菱形对角线互相垂直，可得另一条对角线的方程，分别与椭圆方程联立，再借助菱形各边长相等，即可得到a，b满足的条件．
（2）斜率k的取值范围，须将k用其它参数表示，先设直线l的方程，代入椭圆方程，求x1+x2和x1x2，再根据∠AOB为锐角得到向量
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
（3）先根据椭圆的对称性判断PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．设四边形PQSR的一条对角线的方程，根据菱形对角线互相垂直，可得另一条对角线的方程，分别与椭圆方程联立，再借助菱形各边长相等，即可得到a，b满足的条件．
（1）由题意得
a+c＝2+
3
a−c＝2−
3，解得a=2，c=
3，b=1
所求的方程为
x2
4+y2＝1
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1）
由
x2
4+y2＝1
y＝kx+2得（1+4k2）x2+16kx+12=0．
∵△=（16k）2-4×12（1+4k2）＞0，∴k∈（-∞，-
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本体考查了椭圆性质的应用，以及判断直线与椭圆位置关系时，韦达定理的应用．
1年前
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