高等数学一道很基础的证明题若函数f(x)在(a,b)内具有二阶函数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a

由条件可知,函数f(x)在闭区间[x1,x2]上连续,在开区间(x1,x2)内可导,且f(x1)=f(x2),f(x)满足罗尔定理的三个条件,于是由罗尔微分中值定理,至少存在一点ξ1∈(x1,x2),使得f'(ξ1)=0.同理在(x2,x3)内也至少存在一点ξ2∈(x2,x3),使得f'(ξ2)=0.
因为函数f(x)二阶可导,所以一阶导函数f'(x)在[ξ1,ξ2]上连续,在(ξ1,ξ2)内可导,且满足
f'(ξ1)=f'(ξ2)=0.对函数f'(x)在区间[ξ1,ξ2]上利用一次罗尔定理可知,至少存在一点p∈(ξ1,ξ2),使得
f''(p)=0.因为(ξ1,ξ2)是(x1,x3)的一个子区间,p自然也在(x1,x3)内.

由题意，可知f(x)连续，且一阶导数连续，可导．因为f(x1)=f(x2)=f(x3),　
　那么由罗尔定理，在(x1,x2)内存在m,使得　f(m)一阶导数＝0　　在(x2,x3)内存在n 使得
　f(n)的一阶导数＝0　　　进一步利用罗尔定理，在（m,n）存在 p 使得f(p)的二阶导数=0
（m,n）包含于(x1,x3)　故，在(x1,x3)内至少有一点p，使得f(...