在△ABC中，H为垂心，M为BC上的中点，AD为BC上的高，且AD=BC（AC＞AB）．求证：HD+HM=MC．

解题思路：根据题意作辅助线，根据垂心的定义及已知条件得出△ABD∽△CHD，设AD=BC=1，BD=x，则CD=1-x，根据三角形相似对应边成比例的性质得出DH，根据勾股定理分别得出HD+HM及MC，从而得出结论．

连CH，
∵H为垂心，
∴CH⊥AB
又∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△CHD，
设AD=BC=1，BD=x，则CD=1-x，DM=[1/2]-x，
∵[AD/BD]=[CD/DH]，
[AD/x]=[BC−x/DH]，
∴DH=（1-x）x，
HM²=DH²+DM²=[（1-x）x]²+(
1
2−x)2
=[x(1−x)−
1
2]2
∵AC＞AB，BD=x＜[1/2]
∴x（1-x）=x-x²=-(x−
1
2)2+[1/4]＜[1/4]，
∴HM=-x（1-x）+[1/2]
HD+HM=（1-x）x-x（1-x）+[1/2]=[1/2]=[BC/2]=CM，
∴HD+HM=CM．

点评：
本题考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查了垂心的性质，相似三角形的判断及对应边成比例的性质、勾股定理的应用，比较综合，难度较大．