（2008•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=[4/5]．点P、Q分别是AC、BA

（1）过点Q作QM⊥AC于M，
在Rt△AMQ中，∠AMQ=90°，
∵sinA=[QM/AQ]=[3/5]，
∴QM=[3/5]AQ=[3/5]（10-x），
∴y=[1/2]AP•QM=[1/2]x•[3/5]（10-x）=-[3/10]x²+3x；
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=[BC/AC]，
∴BC=AB•sinA=10×[3/5]=6，
∴AC=
AB2−BC2＝
102−62=8，
∴自变量x的取值范围为：0＜x≤8；



（2）分三种情况：①当AP=AQ时，有x=10-x，
∴x=5；
②当AP=PQ时，过点P作PN⊥AB于N，
在Rt△ANP中，∠ANP=90°，
∴AN=APcosA，
∵sinA=[3/5]，
∴cosA=[4/5]，
∵AN=[1/2]AQ=[10−x/2]，
∴[10−x/2＝
4
5x，
解得：x=
50
13]；
③当AQ=PQ时，过点Q作QS⊥AC于S，
在Rt△ASQ中，∠ASQ=90°，
∴AS=AQcosA，
即[x/2＝
4
5(10−x)，
解得x＝
80
13]；
综合①、②、③，x=5或[50/13]或[80/13]．



（3）存在这样的x，使得∠PQR=90°，
理由如下：
过点P作PM⊥AB于M，过点Q作RN⊥AB于N，
当∠PQR=90°时，∠PQM+∠NQR=90°，
∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴∠NQR+∠NRQ=90°，
∴∠NRQ=∠MQP，
∴△PQM∽△QRN，
∴[RN/QN＝
QM
PM]，
∵RN=[4/5]AR=[4/5]（AC-CR）=[4/5]（8-x），PM=[3/5]AP=[3/5]x，QN＝10−AQ−BN＝
8
5x−
18
5，QM＝AQ−AM＝10−
9
5x，
∴

4
5(8−x)

8
5x−
18
5＝
10−
9
5x

3
5x，
化简，得6x²-49x+90=0解得x＝
49±
241
12；
反之，当AP＝BQ＝CR＝
49+
241
12时，过点P作PM⊥AB于M过点Q作RN⊥AB于N
∵RN＝
4
5(8−x)＝
23−
241
15，QM＝10−
9
5x＝
53−3
241
20，QN＝
8
5x−
18
5＝
44+2
241
15，PM＝
3
5x＝
49+
241
20．
∴
RN
QM＝
31+
241
30，
QN
PM＝
31+
241
30∴[RN/QM＝
QN
PM]，
又∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴△RNQ∽△QMP，
∴∠QRN=∠MQP，又∠QNR+∠NQR=90°，
∴∠MQP+∠NQR=90°，
∴∠PQR=90°，
同理，当AP＝BQ＝CR＝
49−
241
12时，可证∠PQR=90°．
综合以上，当x＝
49±
241
12时，∠PQR=90°．

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了锐角三角函数、三角形的面积公式、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的计算和分类讨论的数学数学，题目的综合性很强，难度很大，对学生的综合解题能力要求相当高．

1年前

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