（2010•广州二模）已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1，an+1an＝bn1

（2010•广州二模）已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1，
an+1
an
＝
bn
1−
a
2
n
．
（1）判断数列{
1
an
}是否为等差数列，并说明理由；
（2）证明：（1+an）n+1•bnn＞1．
521mxy 1年前 已收到1个回答 举报
赞

可爱的小恢恢 幼苗

共回答了28个问题采纳率：85.7% 举报

解题思路：（1）根据
an+1
an
＝
bn
1−
a
n
2
，把an+bn=1代入整理得[1an+1＝
1
an
+1，进而根据等差数列的定义判断出数列{
1
an
}为等差数列．
（2）根据an+bn=1，a1=
1/2]求得a1和b1．进而根据（1）中
1
an
求得an，进而求得bn，进而可知要证不等式（1+an）n+1•bnn＞1，即(1+
1
n+1
)n+1•(
n
n+1
)n＞1，令f(x)＝
lnx
x−1
(x＞1)，对函数f（x）进行求导，再令g(x)＝
x−1
x
−lnx，对函数g（x）进行求导，进而利用导函数判断f（x）和g（x）的单调性，进而利用函数的单调性证明原式．

（1）数列{
1
an}为等差数列．
理由如下：
∵对任意n∈N*都有an+bn=1，
an+1
an＝
bn
1−
a2n，
∴
an+1
an＝
bn
1−
a2n＝
1−an
1−
a2n＝
1
1+an．
∴[1
an+1＝
1
an+1，即
1
an+1−
1
an＝1．
∴数列{
1
an}是首项为
1
a1，公差为1的等差数列．
（2）证明：∵an+bn=1，a1=
1/2]
∴a1=b1=[1/2]．
由（1）知[1
an＝2+(n−1)＝n+1．
∴an＝
1/n+1]，bn＝1−an＝
n
n+1．
所证不等式（1+an）n+1•bnn＞1，即(1+
1
n+1)n+1•(
n
n+1)n＞1，
也即

点评：
本题考点： 等差关系的确定；不等式的证明．

考点点评： 本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识

1年前

1
可能相似的问题

你能帮帮他们吗

精彩回答

Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.111 s. - webmaster@yulucn.com