已知：F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶
已知：F1和F2为双曲线
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=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
（1）求：双曲线的离心率；
（2）若双曲线经过点Q（4，6），求：双曲线的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求：双曲线的离心率；
（2）若双曲线经过点Q（4，6），求：双曲线的方程．
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解题思路：（1）利用F1，F2，P（0，2b）构成正三角形，可得几何量之间的关系，即可求双曲线的离心率；
（2）利用离心率化简双曲线的方程，代入点的坐标，即可求得双曲线的方程．
（2）利用离心率化简双曲线的方程，代入点的坐标，即可求得双曲线的方程．
（1）∵F1，F2，P（0，2b）构成正三角形，∴2b＝
3c，
即有3c2=4（c2-a2），则e＝
c
a＝2；
（2）∵双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝
c
a＝2，∴c2=4a2，
∵c2=a2+b，∴b2=3a2，∴双曲线方程变为
x2
a2−
y2
3a2＝1，
∵双曲线经过点Q（4，6），∴
16
a2−
36
3a2＝1，
∴a2=4，则双曲线方程为
x2
4−
y2
12＝1．
点评：
本题考点： 双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．
考点点评： 本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
1年前
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