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5 |
MD |
NE |
shunshun1234 幼苗
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5 |
|t| | ||
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1 | ||
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1 |
k |
1 |
k |
(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p×1,解得p=2.
故所求抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,
由
y=−2x+t
y2=4x得y2+2y-2t=0.
∵直线l与抛物线C有公共点,
∴△=4+8t≥0,解得t≥−
1
2,
由直线OA与l的距离d=
5
5,可得
|t|
5=
1
5,解得t=±1.
∵-1∉[−
1
2,+∞),1∈[−
1
2,+∞),
∴符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
(3)由题意可知:设M(x1,y1),N(x2,y2),
设直线l1的斜率为k≠0,则l1的方程为y=k(x-1),联立
y=k(x−1)
y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∴x1+x2=
2k2+4
k2,x1x2=1.
∵l1⊥l2,∴直线l2的斜率为−
1
k,方程为y=−
1
k(x−1),设D(x3,y3),B(x4,y4).
联立
y=−
1
k(x−1)
y2=4x,化为x2-(2+4k2)x+1=0,
∴x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
∴
MD•
NE=(
MF+
FD)•(
NF+
FE)
=
MF•
NF+
MF•
FE+
FD•
NF+
FD•
FE
=|
MF| |
FN|+|
EF| |
FD|
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+x1+x2+x3x4+x3+x4+2
=1+2+
4
k2+1+2+4k2+2
=8+4(k2+
1
k2)≥8+4×2×
k2•
1
k2=16,当且仅当k=±1时取等号.
∴当k=±1时,
MD•
NE的最小值为16.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程.
考点点评: 熟练掌握直线与抛物线的相交问题转化为与抛物线方程联立得到一元二次方程、根与系数的关系、弦长公式数量积计算公式等是解题的关键.
1年前
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