已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，两准线间的距离为 9 2 ，并且与直线 y= 1 3 (x-4)

由题意可设所求双曲线方程为：
x 2
a 2 -
y 2
b 2 =1(a＞0，b＞0) ，
设直线 y=
1
3 （x-4）与双曲线相交于A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
则


x 1
a 2 2 -
y 1
b 2 2 =1(1)

x 2
a 2 2 -
y 2
b 2 2 =1(2) （1）-（2）得：
( x 1 - x 2 )( x 1 + x 2 )
a 2 -
( y 1 - y 2 )( y 1 + y 2 )
b 2 =0
即
( x 1 + x 2 ) b 2
( y 1 + y 2 ) a 2 =
y 1 - y 2
x 1 - x 2 ，
又由线段AB中点的横坐标为 -
2
3 可得，其纵坐标为
1
3 (-
2
3 -4)=-
14
9 ，
∴ x 1 + x 2 =2×(-
2
3 )=-
4
3 ， y 1 + y 2 =2×(-
14
9 )=-
28
9 ．
又∵
y 1 - y 2
x 1 - x 2 =
1
3 ，
∴
-
4
3 b 2
-
28
9 a 2 =
1
3 ，
∴ b 2 =
7
9 a 2 ， c 2 = a 2 + b 2 =
16
9 a 2 ， c=
4
3 a
又∵双曲线两准线间的距离为
9
2 ，
∴ 2×
a 2
c =
9
2 ，
∴ 2×
a 2

4
3 a =
9
2
∴a=3，a ² =9，c ² =
16
9 a ² =16．
∴b ² =c ² -a ² =7．
∴所求双曲线方程为：
x 2
9 -
y 2
7 =1 ．