（2013•荆门）已知关于x的二次函数y=x2-2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，

解题思路：（1）先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x²，直线的解析式为y=x+1，联立

y＝x2 y＝x+1

，得x²-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AB=

2

AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=

10

；同理，当k=1，m=1时，AB=

10

；
（2）当k=1，m为任何值时，联立

y＝x2−2mx+m2+m y＝x+1

，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，同（1）可求出AB=

10

；
（3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由

y＝x2 y＝1

，得A（-1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，联立

y＝x2 y＝x+1

，得x²-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，同（1）求出AB=

10

，则AB²=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA²+OB²=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形；③当k为任意实数时，联立

y＝x2 y＝kx+1

，得x²-kx-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．

（1）当k=1，m=0时，如图．
由

y＝x2
y＝x+1得x²-x-1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=
2AC=
2|x₂-x₁|=
2
(x2+x1)2−4x1x2 =
10；
同理，当k=1，m=1时，AB=

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想．