图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，

因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；
观察反比例函数图象得x=3，y=3，则反比例解析式为y=
9
x ；
当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以CE=
2 BC=3
2 ，CF=
2 CD=3
2 ，C点与M点重合，则EC=EM，所以A选项错误；
当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以EF=10
2 ，而EM=5
2 ，所以B选项错误；
因为EC•CF=
2 x•
2 y=2×xy=18，所以，EC•CF为定值，所以C选项错误；
因为BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不变，所以D选项正确．
故选D．