（文）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，满足PF1•PF2

解题思路：（Ⅰ）设PF₁=m，PF₂=n（m＞n），由已知可得

m＝2n m−n＝2a m2+n2＝4c2

，解方程可得a，c之间的关系，由e＝

c

a

可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，b2＝c2−a2＝

1

4

a2，双曲线的方程x²-4y²=a²，渐近线方程为y=±

1

2

x，设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y），由

PQ

•

PR

=2可求a，b进而可求双曲线方程．

（Ⅰ）设PF₁=m，PF₂=n（m＞n）
∵

PF1•

PF2=0，|

PF1|=2|

PF2|．
∴

m=2n
m-n=2a
m2+n2=4c2
∴5a²=c²
∴e=
c
a=
5
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，b2=c2-a2=
1
4a2
∴双曲线的方程x²-4y²=a²，渐近线方程为y=±
1
2x
设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y）
∵

PQ•

PR=（2y-x，0）•（-2y-x，0）=x²-4y²=2
∴a²=2，

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题主要考查了利用双曲线的定义及性质求解双曲线的方程，向量的基本运算关系的应用是解答本题的关键之一