已知双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且 AB • AF =

（Ⅰ）由条件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．


AB •

AF =(-a，b)•(c-a，0)=a(a-c)=-1 ．①
cosBAF=


AB •

AF
|

AB |•|

AF | =
a(a-c)
c(c-a) =-
a
c =cos120°=-
1
2 ．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．则b ² =c ² -a ² =3．
故双曲线C的方程为 x 2 -
y 2
3 =1 ．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程为： y=kx+4，M( x 1 ， y 1 )，N( x 2 ， y 2 )，则Q(-
4
k ，0) ．
∴

PQ = λ 1

QM ．
∴ (-
4
k •-4)= λ 1 ( x 1 +
4
k ， y 1 ) ．
∴

-
4
k = λ 1 ( x 1 +
4
k )
-4= λ 1 y 1 . ⇒

x 1 =-
4
k λ 1 -
4
k
y 1 =-
4
λ 1
∵M（x ₁ ，y ₁ ）在双曲线C上，
∴
16
k 2 (
1+ λ 1
λ 1 ) 2 -
16
3
λ 21 -1=0 ．
∴ 16+32 λ 1 +16
λ 21 -
16
3 k 2 - k 2 λ 2 =0 ．
∴ (16- k 2 )
λ 21 +32 λ 1 +16-
16
3 k 2 =0 ．
同理 (16- k 2 )
λ 22 +32 λ 2 +16-
16
3 k 2 -0 ．
若16-k ² =0，则直线l过项点，不合题意，∴16-k ² ≠0
∴ λ 1 ， λ 2 是二次方程(16- k 2 ) x 2 +32x+16-
16
3 k 2 =0 的两根
∴ λ 1 + λ 2 =
32
k 2 -16 =-
32
7 ．
∴k ² =9，此时△＞0，∴k=±3．
∴所求Q点的坐标为 (±
4
3 ，0) ．