设函数 ，其中 ．（I）若函数 图象恒过定点P，且点P关于直线 的对称点在 的图象上，求m的值；（Ⅱ）当 时，设 ，讨论

设函数 ，其中 ．
（I）若函数 图象恒过定点P，且点P关于直线 的对称点在 的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当 时，设 ，讨论 的单调性；
（Ⅲ）在(I)的条件下，设 ，曲线 上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
( I ) ；(Ⅱ)当m≥0时， 在(0，＋∞)上为增函数；当m＜0时， 在 上为增函数，在 上为减函数.(Ⅲ)存在， .


试题分析：( I )先求出定点P，然后找出点P关于直线 的对称点代入 ，即得到 ；(Ⅱ)将 代入，得到 ，再讨论m的取值范围，从而得到 的单调性；(Ⅲ)先求出 的表达式，再假设存在P、Q两点满足题意，由 ，讨论 的范围，从而得到a的取值范围为 .
试题解析：( I ) 令 ，则 ，即函数 图象恒过定点P (2，0) (1分)
∴P (2，0)关于直线 的对称点为(1，0) (2分)
又点(1，0)在 的图象上，∴ ，∴ (3分)
(Ⅱ) ∵ 且定义域为 (4分)
∴ (5分)
∵x＞0，则x＋1＞0　
∴当m≥0时 ，此时 在(0，＋∞)上为增函数. (6分)
当m＜0时，由 得 ，由 得
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数. (7分)
综上，当m≥0时， 在(0，＋∞)上为增函数.
当m＜0时， 在 上为增函数，在 上为减函数. (8分)
(Ⅲ)由( I )知，