求曲线方程一曲线通过点(1,1).且该曲线上任一点M(x,y)处的切线垂直于此点与原点的连线曲线方,求这曲线的方程请大家

求曲线方程
一曲线通过点(1,1).且该曲线上任一点M(x,y)处的切线垂直于此点与原点的连线曲线方,求这曲线的方程
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f9702 1年前 已收到2个回答 举报
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xx45 春芽

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设这曲线的方程为 y=f（x）,
∵该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率是 y′=f′（x）,
此点与原点的连线的斜率是y/x.又它们互相垂直.
∴ y′y/x=-1.解此微分方程得 y²+x²=C,（C是积分常数）.(1)
∵此曲线通过点(1,1).
∴当x=1时,y=1.代入（1）得 C=2,则y²+x²=2.
故这曲线的方程是 y²+x²=2.

1年前

8

skysword_wang3 幼苗

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因为，垂直于切线的直线的斜率为y/x,
所以，该曲线上任一点的切线斜率为-x/y,
即该曲线的一阶导数为-x/y,
所以该曲线方程的通解为y2=-x2+c,
又因为该曲线过点（1，1），所以c=2,
即这曲线的方程为x2+y2=2

1年前

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