（2012•洛阳模拟）已知函数f（x）=lnx-ax+[1−a/x−1（a∈R）．

（I）函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′(x)＝
−ax2+x+a−1
x2
当a=0时，f′(x)＝
x−1
x2，令f′(x)＝
x−1
x2＞0可得x＞1，令f′(x)＝
x−1
x2＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
当a＜0时，令f′(x)＝
−ax2+x+a−1
x2＞0得-ax²+x-1+a＞0，解得x＞1或x＜
1/a−1（舍去），此时函数f（x）在（1，+∞_上增函数，在（0，1）上是减函数；
当0＜a＜
1
2]时，令f′(x)＝
−ax2+x+a−1
x2＞0得-ax²+x-1+a＞0，解得1＜x＜
1
a−1
此时函数f（x）在（1，[1/a−1）上是增函数，在（0，1）和（
1
a−1，+∞）上是减函数…（6分）
（II）证明：由（I）知：a=0时，f（x）=lnx+
1
x]-1在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=0
设g（x）=f（x）-（x²-1）=lnx+[1/x]-x²（x＞1），则g′(x)＝
−(x+1)(2x2−2x+1)
x2
∵2x²-2x+1＞0恒成立，∴x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减
∴x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜x²-1
∵f（x）＞0，∴[1
f(x)＞
1
x2−1=
1/2]（[1/x−1−
1
x+1]）
∴[1
f(2)+
1
f(3)+…+
1
f(n)

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；用数学归纳法证明不等式．

考点点评： 本题考查导数知识，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查裂项法求和，属于中档题．

1年前

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