在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．

（1）证明：∵BC⊥面A₁B，∴A₁C在面A₁B上的射影为A₁B
∵A₁B⊥AE，AE⊂面A₁B，∴A₁C⊥AE，
同理A₁C⊥AF，
∵AE∩AF=A，
∴A₁C⊥面AEF．
（2）以C为原点，射线CD、CB、CC₁分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（3，4，0），A₁（3，4，5），M（0，2，5）．
∴

A1C=（-3，-4，-5），

AM=（-3，-2，5）
设

A1C与

AM的夹角为θ，则cosθ=


A1C•

AM
|

A1C||

AM|=-
4
19
95
∴AM与平面AEF所成的角大小为arcsin
4
19
95．
（3）∵AF⊥A₁D，∴△A₁AD∽△ADF，∴
A1A
AD＝
AD
DF，∴DF=
AD2
A1A=[16/5]
∴VD−AEF＝VE−ADF＝
1
3×
1
2×AD×DF×AB=[1/3×
1
2×4×
16
5×3＝
32
5]．

点评：
本题考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查线面垂直，考查线面，考查三棱锥的体积，掌握线面垂直的判定，正确运用向量法求线面角是关键．