正交的数学定义是什么?它只有几何意义吗?正交函数集的物理意义又是什么?

正交变换是高等代数与线性代数中的常见概念.关于这个概念的定义,当前在不同教材中有如下两种表述方式.定义1　欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个正交变换,如果它保持向量的长度不变,即对于任意的α∈V,都有σ(α) =|α|.[1,2]定义2　欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于任意的αβ∈V都有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉.正交变换最邻近的种概念是线性变换,而保持向量的长度不变与保持向量的内积不变分别是正交变换的两个类特征.在σ是线性变换的前提下,可以证明这两个类特征是等价的,所以定义1与定义2所描述的概念的内涵是一致的

我知道正交分解力，在物理力学中，通常会有将一个方向上的力正交分解为水平和竖直方向，以便解决力学题目。我只知道这些正交分解只是一种模型，属于解析空间的概念，这种正交的最基本的，貌似还有很多例子，正交的含义应该很广泛吧？恩，很广，我只知道这个...