请用三角函数证明这道题正方形ABCD,M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥CM于P,求证:PD⊥PN,相似的证

不妨设,正方形边长1,角MCB=x,
作:PQ垂直CD于Q,连接DN
MB=tanx,所以:BN=MB=tanx
PB=sinx,
CP=cosx
PQ=CP*cosx=(cosx)^2
QC=CP*sinx=sinx*cosx
DQ=1-QC=1-sinx*cosx
NC=BC-BN=1-tanx
角CBP=(pi/2)-x
DN^2=DC^2+CN^2=1+(1-tanx)^2=(tanx)^2-2tanx+2
DP^2=DQ^2+PQ^2=(cosx)^4+(1-sinx*cosx)^2
PN^2=PB^2+BN^2-2PB*BN*cos角CBP
=(sinx)^2+(tanx)^2-2sinx*tanx*sinx
=(sinx)^2+(tanx)^2-2(sinx)^2*tanx
DP^2+PN^2=(cosx)^4+(1-sinx*cosx)^2+(sinx)^2+(tanx)^2-2(sinx)^2*tanx
=(cosx)^4+(sinx)^2*(cosx)^2-2sinxcosx+1+(sinx)^2+(tanx)^2-2(sinx)^2*tanx
=(cosx)^2((cosx)^2+(sinx)^2)+(sinx)^2-2sinxcosx+1+(tanx)^2-2(1-(cosx)^2)*tanx
=(cosx)^2+(sinx)^2-2sinxcosx+1+(tanx)^2-2tanx+2sinxcosx
=2+(tanx)^2-2tanx
=DN^2
所以:三角形DPN为直角三角形
PD垂直PN

tan角MCB = BP/PC = BM/BC
因为BM=BN BC=CD
所以 BP/PC = BN/CD,推出 BP/BN = PC/CD
又因为 BP垂直于CM,不难发现 角MCD=角PBN
所以 三角形PDC与三角形PNB相似
然后 角BPN等于角CPD
因为 角BPN + 角NPC = 90°，所以，角CPD + 角NPC = 角NPD = 90°

向量呗,里面有三角函数,你还想怎么证???我晕