（2011•双流县三模）如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段D
（2011•双流县三模）如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设| AD |
| AB |
| AE |
| AC |
| DF |
| DE |
| 1 |
| 2 |
A．[1/2]
B．[1/3]
C．[1/4]
D．[1/8]
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解题思路：由三角形ABC的面积为1且
＝
＝
＝λ1λ2可求三角形ADE的面积，再由△DMB∽△DEA可得
＝
＝
从而有
＝
＝ λ3•
，求出三角形DEF的面积之后，利用基本不等式可求面积的最大值
| S△ADE |
| S△ABC |
| ||
|
| λ1AB•λ2AC |
| AB•AC |
| h1 |
| h2 |
| DB |
| DA |
| 1−λ1 |
| λ1 |
| S△DBF |
| S△ADE |
| ||
|
| 1−λ1 |
| λ1 |
分别过B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分别为M，N，设MB=h1，AN=h2
则
S△ADE
S△ABC＝
1
2AD•AEsinA
1
2AB•ACsinA＝
λ1AB•λ2AC
AB•AC＝λ1λ2
∴S△ADE=λ1λ2S△ABC=λ1λ2
∵△DMB∽△DEA
∴
h1
h2＝
DB
DA＝
1−λ1
λ1
从而有
S△DBF
S△ADE＝
1
2DF•h1
1
2DE•h2＝ λ3•
1−λ1
λ1
∴S△DBF＝
λ3(1−λ1)
λ1λ1λ2＝λ2λ3(1−λ1)≤(
λ2+λ3+1−λ1
3)3=[1/8]
当且仅当λ2＝λ3＝1−λ1＝
1
2取等号
故选：D
点评：
本题考点： 平面向量的综合题．
考点点评： 本题以向量的共线为切入点，利用向量的共线转化为线段的长度关系，解决本题的关键是根据三角形的面积公式先求出三角形ADE的面积；关键二是把所求的三角形的面积与三角形ADE的面积之间通过三角形的像似建立联系．本题是一道构思非常巧妙的试题，要求考试不但要熟练掌握基础知识，更要具备综合解决问题的能力．
1年前
7
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