已知函数f（x）在其定义域上满足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
已知函数f（x）在其定义域上满足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函数y=f（x）的图象是否是中学对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
②当f（x）∈[
，
]时，求x的取值范围；
③若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么若0＜an+1≤f（an）正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
恒成立，求最小的N．
①函数y=f（x）的图象是否是中学对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
②当f（x）∈[
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③若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么若0＜an+1≤f（an）正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
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解题思路：①化简函数y=f（x）的表达式，通过反比例函数判断函数的图象是对称图形，直接指出其对称中心；
②通过f（x）∈[
，
]，转化分式不等式与不等式组的形式，然后求x的取值范围；
③利用f（0）=0，推出a=1，求出函数的表达式，通过0＜an+1≤f（an）构造bn＝
+1，推出an≤
，结合an＜
恒成立，可求n的最小值，即可求最小的N．
②通过f（x）∈[
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③利用f（0）=0，推出a=1，求出函数的表达式，通过0＜an+1≤f（an）构造bn＝
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| an |
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| 2n−1 |
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①∵xf（x）+2af（x）=x+a-1
∴（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a时，则a=-1，与a＞0矛盾
∴x≠-2a，∴f（x）=[x+a−1/x+2a]=1-[a+1/x+2a]（x≠-2a）
∴f（x）是中心对称图形，对称中心为（-2a，1）
②∵f（x）∈[[1/2]，[4/5]]，
[1/2≤
x+a−1
x+2a≤
4
5]⇒
x+a−1
x+2a≥
1
2
x+a−1
x+2a≤
4
5⇒
x−2
x+2a≥0
x−3a−5
x+2a≤0
又a＞0，所以
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；其他不等式的解法．
考点点评： 本题考查函数的性质的应用，函数的值域的应用，不等式组的解法，数列与函数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．
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