设函数f（x）=lnx-px+1，

（Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1，∴f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)＝
1/x−p=
1−px
x]，
当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）内单调增，
当p＞0时，令f′（x）=0，∴x=[1/p]∈（0，+∞），
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （0，[1/p]） [1/p] （[1/p]，+∞）
f′（x）+ 0-
f（x）↑ 极大值↓从上表可以看出：
当P＞0时，f（x）在（0，[1/p]）单调递增，在（[1/p]，+∞）单调减．
（Ⅱ）当p＞0时，在x=[1/p]取得极大值f（[1/p]）=ln[1/p]，
此极大值也是最大值．
要使f（x）≤0恒成立，只需f（[1/p]）=ln[1/p]≤0，
∴p≥1，∴p的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知lnx-x+1≤0，
∴lnx≤x-1，∵n∈N，n≥2，
∴lnn²≤n²-1，
∴
lnn2
n2≤
n2−1
n2=1-[1
n2，
∴
ln22
22+
ln32
32+…+
lnn2
n2≤（1-
1
22）+（1-
1
32）+…+（1-

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的单调性的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

1年前

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