已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3）+2，其中a为常数．

解题思路：（1）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可；
（2）要求函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，则要求导函数f'（x）在区间（-1，0）大于零即可，另外要注意对a的讨论；
（3）要求函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即求函数g（x）的极值并将之与函数端点值g（0），g（2）进行比较大小，得出在函数g（x）[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），再根据条件在x=0处取得最大值，得到g（0）≥g（2）即可

（1）∵f（x）=ax³-3x²+2，
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，解得a=2
（2）①当a=0时，
f（x）=-3x²在区间（-1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax（x-[2/a]），令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=[2/a]，
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当x∈（[2/a]，2）时，f'（x）＞0，∴[2/a]≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意），
综上所述，a≥-2．
（3）a＞0，g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x+2，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0（*），显然有△=4a²+4＞0．
设方程（*）的两个根为x₁，x₂，由（*）式得 x₁x₂=-[2/a]＜0，不妨设x₁＜0＜x₂．
当0＜x₂＜2时，g（x₂）为极小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x₂≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数
所以最大值为g（0），所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0处取得最大值
所以g（0）≥g（2）即0≥20a-22，解得a≤[6/5]，又因为a＞0，所以a∈（0，[6/5]]

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，关键在于比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 的大小，从而得到函数的最值，另外还有分类讨论的思想，属于基础题．