如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：

解题思路：（1）取BB₁的中点M，连接HM、MC₁，四边则HMC₁D₁是平行四边形，即可证明BF∥HD₁；
（2）取B₁D₁的中点O，易证四边形BEGO为平行四边形，故有OB∥GE，从而证明EG∥平面BB₁D₁D．
（3）由正方体得BD∥B₁D₁，由四边形HBFD₁是平行四边形，可得 HD₁∥BF，可证 平面BDF∥平面B₁D₁H．

证明：（1）取BB₁的中点M，连接HM、MC₁，四边则HMC₁D₁是平行四边形，
∴HD₁∥MC₁．
又∵MC₁∥BF，∴BF∥HD₁．
（2）取BD的中点O，连接EO、D₁O，则OE∥DC，OE=[1/2]DC．
又D₁G∥DC，D₁G=[1/2]DC，
∴OE∥D₁G，OE=D₁G，
∴四边形OEGD₁是平行四边形，∴GE∥D₁O．
又D₁O⊂平面BB₁D₁D，∴EG∥平面BB₁D₁D．
（3）由（1）知D₁H∥BF，又BD∥B₁D₁，B₁D₁、HD₁⊂平面HB₁D₁，BF、BD⊂平面BDF，且B₁D₁∩HD₁=D₁，DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁H．

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查证面面平行、线面平行的方法，直线与平面平行的判定、性质的应用，取B1D1的中点O，是解题的突破口．