急够计算机数学基础2形成性考核册答案

三、计算题3w#q&J$H*Y u-S+t2i
1. 表中各x的值都是精确值x*进行四舍五入得到的近似值,试分别指出其绝对误差限、相对误差限和有效数字位数,并填入表中.%cA6DT1X2F4@
x 绝对误差限 相对误差限 有效数字位数7c*r,|%}T2^ SRW
0.3012 :~&x5{WO$s%I-O
30.12 _ l5i]M4cR`0_.B
30.120 nq7i{&o v/^6mW1C
30120 *@&R:E6t G"N
0.3012×105
,w;Hz kW3S W^.C0[yp 解
_)n#S4Az8G 0.000 05 0.017% 四位有效数字 5z ~2K4`2F;x H
0.005 0.017％ 四位有效数字
&F|.Xj&B 0.0005 0.0017％ 五位有效数字 0.5 0.0017% 五位有效数字
-x5H)iP.`up4y Q 0.00005×105 0.017% 四位有效数字3Q&z X!~lPQ
说明：最后一个数,所给x是浮点形式的数,回答也应是浮点形式的数．
v'R$X2@v L dA] 3. 正方形的一边长约100 ,问测量边长时允许绝对误差为多大,才能保证面积的绝对误差不超过1 2?.
2 n|8w*C;{ 解 设正方形的边长为x( ),面积为S,则S=x2．7m$L1s|4inn'{5{c
已知e(S)£1 2,由乘积的误差传递公式
h2A]1j7_-B1BH*['G £1 SU4DW@1d4@4R0d
所以 ＝0.005( )．A1J2[S#Q?S7A
允许测量边长的误差不超过0.005( )．
5co`F;V9w)`+h!g 5. 用列主元消去法解线性方程组 $u5uY&J1L)w
解　　 Q5s!S ] x6yrw
&OLz+R aR&Ce
%r@%C#p!xil9Io.o
系数矩阵已是上三角矩阵,消元结束．回代求解．)WAQ3F5D5I4Q
　　
.K }/Wl}d#G 原方程的解为 ．$Ds6S`%Us p#H
6. 用列主元消去法求解线性方程组d5J6I6o,o7Z8s0@'@9

3z4y1C RS}-U P"g T 解　 ®
{-uDb J'gu/Zt ® ® 系数矩阵已是上三角矩阵,消元结束．回代求解．
:h^L2TI C8U 　　 t ?6j4Md1{
原方程的解为 ． uO`xt8{$Kk&M)m
7. 用雅可比迭代法求解线性方程组 $P7QT6l0D7Z1tX9X
解　首先写出迭代格式?;NY+Hh`F
3Z3b3W:qy1V4v4nA 取初始值X(0)=(0,0,0) ,将初始值X0代入,得到X(1)=(3,3,3) ． ^y+p3zm2J1M)[ k
当k=1时,得
6b(lNS&l5L[,Fi 　　
,EKm i4yXY 于是得到X(2)=(2.625,2.1818,0.75) ．{Sz(W4j Vl
当k=2时,有
[sD jRA!? 1h*|5M,G WN]'D
于是得到X(3)=(3.0852,2.1136,1.1421) ．T[ k2@n5Eg
依照迭代格式,可以继续得到1P*L$?4|8g1J.XB}5x
X(4)=(2.9787,1.9819,0.9290) ,…[h5[ ]!S3T6F9r
8. 用高斯¾赛德尔迭代法求解下列线性方程组
'p#F2I1M5M$d[7DX
_#G4u4u;LaC 解　迭代格式为
xVPV:D&c ,k=0,1,2,…
6q3Z3A4l.i5H2ZW e%s 取初始值X(0)=(0,0,0) ． a5{sm!z*Mb-y7{[
k=0, ．
3g:G8^ D P5o1h"J1R ,Zve hr5?'l
$C"b2KY%r
,-QJ*P X6B9~!ql%x4l
得到X(1)= (0.3,1.56,2.684) ．)I5{$vmF S~_
用类似于k=0的方法,得到c9N u"fY
k=1时,有
6l W;L7]Np3J3|5y X(1)=(0.8804,1.94448,2.95387) ．
[h%SdL3S"c k=2时,有 u0U7V-ZFp
X(2)=(0.948283,1.99224,2.99375) ．
/C+V*}Rz/|7[ G0W Dm k=3时,有
a@1Yi3_+L X(3)=(0.9978,1.9999,2.999) ．
1BA9c7@k!J 四、证明题
;ti6dg9c@|1[ 1. 设线性线性方程组
1Q^ ~] ZN ^ 试证明用雅可比迭代法求解收敛,而用高斯－赛德尔迭代法求解发散．2de;!GA&Z5W}C1Y
证明 线性方程组的系数矩阵为
;W$ugK4?[5YT3g8X A＝
F']3K+g v'w 于是, D＝ ,D－1＝D, ＝ , ＝
M }1Fs0A B3Pl&T 雅可比迭代矩阵为V:T1l&i C:e v}
B0＝－ ＝－
z(O!x2n9q5}+t(I9fN O1P|*Y.^2D:g&d |)K
＝ EVv,{ B3}
得到矩阵B0的特征根 ,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛．
6L[w e[#ot 高斯－赛德尔迭代矩阵为6X!lFo Ih&I7F
G＝－
q4K1~V;w9XJ-J ＝－
0x)|P|/e5X ＝ 0l%}x,KX*iJ? t2bAr
解得特征根为l1=0,l2,3=2.由迭代基本定理4知,高斯－赛德尔迭代发散．