笨笨有心
幼苗
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如果这里的R是收敛半径,那么结论是不成立的.
反例如∑{0 ≤ n} x^n,其收敛半径为1,但在(-1,1)上不是一致收敛的.
因为其通项x^n在(-1,1)上虽然逐点收敛到0,但收敛不是一致的.
具体来说,存在ε = 1/2,对任意N,存在n > N与a = (1/2)^(1/n) ∈ (-1,1),使a^n = 1/2 ≥ ε.
正确的结论是幂级数在(-R,R)是内闭一致收敛的,即在(-R,R)中的任意闭集(闭区间)上一致收敛.
或者更普遍的(包括R = ∞的情形),幂级数在(-R,R)内的任意紧集(有界闭集)上一致收敛.
只要证明对0 < r < R,级数在[-r,r]一致收敛.
证法有很多,以下给出一种Abel(一致收敛)判别法的证明.
任取c∈(r,R),由收敛半径为R,可证明级数在x = c处绝对收敛,即∑{0 ≤ n} |a[n]|·c^n收敛.
取函数列u[n](x) = |a[n]|·c^n,与v[n](x) = |x|^n/c^n.
有级数∑{0 ≤ n} u[n](x) = ∑{0 ≤ n} |a[n]|·c^n一致收敛 (u[n]都是常值函数,收敛是一致的).
对x∈[-r,r],v[n](x) ≤ (r/c)^n ≤ 1,即v[n](x)在[-r,r]上一致有界.
又对x∈[-r,r],v[n](x) = |x|^n/c^n关于n单调递减.
根据Abel判别法,∑{0 ≤ n} u[n](x)·v[n](x) = ∑{0 ≤ n} |a[n]|·|x|^n在[-r,r]一致收敛.
即∑{0 ≤ n} a[n]·x^n在[-r,r]上绝对一致收敛,于是也是一致收敛的.
1年前
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