（2012•杨浦区二模）设a∈R，f（x）=a•2x−a−22x+1为奇函数．

解题思路：（1）f（x）=

a•2x−a−2

2x+1

=a-

a+a−2

2x+1

，由f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），代入化简可求实数a的值；
（2）由y=f（x）=

2x−1

2x+1

可得f^-1（x）=log2

1+x

1−x

，不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[[1/2]，[2/3]]上恒成立，即log2

1+x

1−x

≤2log₂（[1+x/k]）恒成立，即k²≤1-x²在区间[[1/2]，[2/3]]上恒成立，求出右边函数的最小值，即可求实数k的取值范围．

（1）f（x）=
a•2x−a−2
2x+1=a-
a+a−2
2x+1
由f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），
∴
a•2−x−a−2
2−x+1＝−
a•2x−a−2
2x+1
∴a−
a+a−2
2−x+1＝−a+
a+a−2
2x+1
∴2a=a+a^-2
∴a=1，
∴f（x）=
2x−1
2x+1
（2）由y=f（x）=
2x−1
2x+1可得2x＝
1+y
1−y，∴x＝log2
1+y
1−y，∴f^-1（x）=log2
1+x
1−x，
不等式f^-1（x）≤g（x）在区间[[1/2]，[2/3]]上恒成立，即log2
1+x
1−x≤2log₂（[1+x/k]）恒成立，
即[1+x/1−x≤(
1+x
k)2恒成立
即k²≤1-x²在区间[
1
2]，[2/3]]上恒成立，
∵y=1-x²在区间[[1/2]，

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性，考查反函数，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定函数的最值，属于中档题．