设函数f（x）定义域为R，对一切x、y∈R，均满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3， f

（1）令x=y=
π
2 ，则由原式得：f（π）+f（0）=2f（
π
2 ）cos
π
2 =0
∴f（π）=-f（0）=-3
证明：（2）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用
π
2 替换y，得f（x+
π
2 （4））+f（x-
π
2 （5））=2f（x）cos
π
2 （6）=0①
∴f（x-
π
2 ）=-f（x+
π
2 ）=-f[（x-
π
2 ）+π]
由x-
π
2 的任意性知，对任意x∈R，均有：f（x）=-f（x+π）②
∴f（x+2π）=f[（x+π）+π]=-f（x+π）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）为周期函数，且2π为其一个周期．
（3）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用
π
2 替换x，用x替换y，得：f（
π
2 +x）+f（
π
2 -x）=2f（
π
2 ）cosx=8cosx
由②知：f（
π
2 -x）=-f[（
π
2 -x）-π]=-f[-（
π
2 +x）]
∴f（
π
2 +x）-f[-（
π
2 +x）]=8cosx
用x替换
π
2 +x，得：f（x）-f（-x）=8cos（x-
π
2 ）=8sinx③
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中取x=0，用x替换y，得：f（x）+f（-x）=2f（0）cosx=6cosx④
从而可得，f（x）=4sinx+3cosx