设x→x0,α(x)和β(x)是无穷小,且α(x)-β(x)≠0,证明当x→x0时,α(x)-β(x)和ln[1+α(x

如果lim b/a=1,则称a和b是等价无穷小的关系,记作a～b
【重要的等价无穷小替换　　当时,
　　sinx~x
　　tanx~x
　　arcsinx~x
　　arctanx~x
　　1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
　　（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
　　（e^x）-1~x
　　ln(1+x)~x
　　(1+Bx)^a-1~aBx
　　[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
　　loga(1+x)~x/lna
　　（1+x)^a-1~ax(a≠0) 】
故 当x→x0时,α(x)~ln[1+α(x)、β(x)~ln[1+β(x)]
且α(x)-β(x)≠0,lim(x→0)【[α(x)-β(x)]/{ln[1+α(x)]-ln[1+β(x)]}】=1
所以 α(x)-β(x)和ln[1+α(x)]-ln[1+β(x)]是等价无穷小