（2013•南开区模拟）数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=[1/2]n（n+1）b1，b7=21，数列{an}满足a1

解题思路：（1）根据题意和公式b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出b_n，同样的方法求出a_nb_n，再求出a_n并验证n=1时成立；
（2）把（1）求出的a_n代入T_n化简后，对n分奇数和偶数讨论，分别求出对应的式子，再分段表示出来；
（3）把（1）求出的a_n代入不等式的左边化简后，把分母缩小并进行裂项并逐项相消后，根据式子的特点和n的取值证明不等式成立．

（1）由题意得，Sn＝
1
2n(n+1)b1，b₇=21，
∴b_n=S_n-S_n-1=[1/2n(n+1)b1-
1
2n(n−1)b1=nb₁（n≥2），
∴{b_n}为等差数列，
∵b₇=7b₁=21，∴b₁=3，∴b_n=3n，
由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=n（n+1）（2n+1）可得，
当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-1）n（2n-1）
两个式子相减得，anbn＝6n2(n≥2)，
∴a_n=2n（n≥2），
由于a₁b₁=2×3=6，a₁=2，
∴a_n=2n，
（2）由（1）得，a_n=2n，
Tn＝a1−a2+a3−a4+…+(−1)n+1•an，
∴Tn＝2−4+6−8+…+(−1)n+1•2n
=2[（1-2）+（3-4）+…+（-1）ⁿ⁺¹•n]
当n为奇数时，T_n=2[(−1)×
n−1
2+n]=n+1；
当n为偶数时，T_n=2[(−1)×
n
2]=-n，
∴Tn＝

n+1，n为奇数
n，n为偶数]，
（3）由（1）得，a_n=2n，
则
1

a21+
1

a22+…+
1

a2n＝
1
4(
1
12+
1
22+…+

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查了等差数列的通项公式，数列前n项和公式与通项公式的关系，利用裂项相消法求数列的前n项和，考查了分类讨论思想，以及放缩法证明不等式成立问题．