已知数列{an}满足a1＝35，an+1＝3an2an+1，n∈N*．

已知数列{an}满足a1＝
3
5
，an+1＝
3an
2an+1
，n∈N*．
（1）求证：数列{
1
an
−1}为等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且am-1，as-1，at-1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．
xaidgy 1年前 已收到1个回答 举报
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我不会灌水 幼苗

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解题思路：（1）由an+1＝
3an
2an+1
，变形可得[1an+1−1＝
1/3
(
1
an
−1)，从而可证明数列{
1
an
−1}为等比数列；
（2）假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有
m+t＝2s
(as−1)2＝(am−1)(at−1).
]，代入条件，利用基本不等式，即可得出结论．

（1）证明：因为an+1＝
3an
2an+1，
所以[1
an+1＝
1
3an+
2/3]．…（1分）
所以[1
an+1−1＝
1/3(
1
an−1)．…（3分）
因为a1＝
3
5]，则[1
a1−1＝
2/3]．…（4分）
所以数列{
1
an−1}是首项为[2/3]，公比为[1/3]的等比数列．…（5分）
（2）由（1）知，[1
an−1＝
2/3×(
1
3)n−1＝
2
3n]，
所以an＝
3n
3n+2．…（7分）
假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，
则有

m+t＝2s
(as−1)2＝(am−1)(at−1).

点评：
本题考点： 数列递推式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，假设存在，引出矛盾是关键．

1年前

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