已知二次函数 f ( x )= ax 2 + bx + c 和一次函数 g ( x )=－ bx ，其中 a 、 b 、
| 已知二次函数 f ( x )= ax 2 + bx + c 和一次函数 g ( x )=－ bx ，其中 a 、 b 、 c 满足 a > b > c , a + b + c =0,( a , b , c ∈R). (1)求证:两函数的图象交于不同的两点 A 、 B ； (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A 1 B 1 的长的取值范围. |
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(1)证明略 (2) | A 1 B 1 |∈(
)
由
消去 y 得 ax 2 +2 bx + c =0
Δ =4 b 2 －4 ac =4(－ a － c ) 2 －4 ac =4( a 2 + ac + c 2 )=4［( a +
c 2 ］
∵ a + b + c =0, a > b > c ,∴ a >0, c <0
∴
c 2 >0,∴ Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解:设方程 ax 2 + bx + c =0的两根为 x 1 和 x 2 ,则 x 1 + x 2 =－
, x 1 x 2 =
.
| A 1 B 1 | 2 =( x 1 － x 2 ) 2 =( x 1 + x 2 ) 2 －4 x 1 x 2
∵ a > b > c , a + b + c =0, a >0, c <0
∴ a >－ a － c > c ,解得 ∈(－2,－
)
∵
的对称轴方程是
.
∈(－2,－ )时，为减函数
∴| A 1 B 1 | 2 ∈(3,12),故| A 1 B 1 |∈( ).
) 由
消去 y 得 ax 2 +2 bx + c =0Δ =4 b 2 －4 ac =4(－ a － c ) 2 －4 ac =4( a 2 + ac + c 2 )=4［( a +
c 2 ］∵ a + b + c =0, a > b > c ,∴ a >0, c <0
∴
c 2 >0,∴ Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解:设方程 ax 2 + bx + c =0的两根为 x 1 和 x 2 ,则 x 1 + x 2 =－
, x 1 x 2 =
.| A 1 B 1 | 2 =( x 1 － x 2 ) 2 =( x 1 + x 2 ) 2 －4 x 1 x 2
∵ a > b > c , a + b + c =0, a >0, c <0
∴ a >－ a － c > c ,解得
∈(－2,－
)∵
的对称轴方程是
. ∈(－2,－ )时，为减函数∴| A 1 B 1 | 2 ∈(3,12),故| A 1 B 1 |∈(
).
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