（2014•重庆模拟）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为[1/2]，对称轴为坐标轴，且经过点(1，32)．
（2014•重庆模拟）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为[1/2]，对称轴为坐标轴，且经过点(1，
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点，O为原点，在OA、OB上分别存在异于O点的点M、N，使得O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围．
| 3 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点，O为原点，在OA、OB上分别存在异于O点的点M、N，使得O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围．
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解题思路：（I）设椭圆E的方程为
+
＝1(a＞b＞0)．离心率为[1/2]，且经过点(1，
)．能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）联立方程组
，得（4k2+3）x2-16kx+4=0，由直线与椭圆有两个交点，解得k2＞
，由原点O在以MN为直径的圆外，知∠MON为锐角，由此能求出直线斜率k的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）联立方程组
|
| 1 |
| 4 |
（I）依题意，可设椭圆E的方程为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)．
由[c/a＝
1
2⇒a＝2c，b2＝a2−c2＝3c2，
∵椭圆经过点(1，
3
2)，则
1
4c2+
9
12c2＝1，解得c2=1，
∴椭圆的方程为
x2
4+
y2
3＝1．
（II）联立方程组
y＝kx−2
x2
4+
y2
3＝1]，消去y整理得（4k2+3）x2-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（-16k）2-16（4k2+3）＞0，解得k2＞
1
4，①
∵原点O在以MN为直径的圆外，
∴∠MON为锐角，即
OM•
ON＞0．
而M
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．
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