如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与过A（2，0），B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e

解题思路：（1）直线AB方程与椭圆方程联解，利用根的判别式算出a²+4b²-4=0．再由椭圆的离心率e=

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2

，得a=2b，代入前面的式子可得a²=2且b²=[1/2]，从而得到椭圆方程；
（2）由（1）算出F₁、F₂的坐标，从而得到AF₂的中点M（1+

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4

，0），联解AB方程与椭圆方程得T（1，[1/2]）．
最后利用直线的斜率公式和两角差的正切公式，即可得到tan∠ATM的值．

（1）过点A、B的直线方程为：[x/2+y＝1，
∵直线AB与椭圆有唯一公共点，
∴将y=1-
1
2x代入椭圆方程，化简得
方程（b²+
1
4a2）x²-a²x+a²-a²b²=0有惟一解，
∴△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又∵椭圆的离心率e=

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2]，
∴a=2b，代入上式可得a²=2，b²=[1/2]，
因此，所求的椭圆方程为
x2
2+
y2

1
2＝1；
（2）由（1）得c=
a2−b2=

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2，得F₁（-

6
2，0），F₂（-

6
2，0）
从而算出M

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求角的正切之值．主要考查了直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于中档题．