（2011•蓬江区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B，

（2011•蓬江区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于

B，C两点，交y轴于点D，E两点．
（1）求点B，C，D的坐标；
（2）如果一个二次函数图象经过B，C，D三点，求这个二次函数解析式；
（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图象于点F，当△CPF中一个内角的正切之为[1/2]时，求点P的坐标．

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aa00181 花朵

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解题思路：由题意可知AC=5，OA=3，根据勾股定理可知，OC=4，可知C点坐标，同理求出B点坐标，OA=3，AD=5，求出OD=2，求出D点坐标．
（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，∴点D的坐标（0，2）．
连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．
∴点C的坐标为（4，0）；
同理可得点B坐标为（-4，0）．

（2）已知B，C，D三点坐标，设出解析式，代入即可求出函数解析式．
设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，则

0＝16a−4b+c

0＝16a+4b+c

2＝c

解得

a＝−

b＝0

c＝2

∴所求的二次函数的解析式为y=-[1/8]x²+2；

（3）根据图象可知，正切为[1/2]，则∠cpf为直角，设出P点坐标，然后表示出CP，PF的长度，然后分情况讨论[PF/CP]=[1/2]还是[CP/PF＝

2]，或是两者都可，求出P点坐标．
设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，
且点F的坐标为（t，-[1/8]t²+2），PC=t-4，PF=[1/8]t²-2，
∵∠CPF=90°，∴当△CPF中一个内角的正切值为[1/2]时，
①若[CP/PF

＝

2]时，即[t−4

1/8

t2−2

＝

2]，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②当[PF/CP

＝

2]时，

t2−2

t−4

＝

解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
所以所求点P的坐标为（12，0）．

（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，
∴点D的坐标（0，2）．（1分）
连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4．（1分）
∴点C的坐标为（4，0）；（1分）
同理可得点B坐标为（-4，0）．（1分）

（2）设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，则

0＝16a−4b+c
0＝16a+4b+c
2＝c（3分）
解得

a＝−
1
8
b＝0
c＝2
∴所求的二次函数的解析式为y=-[1/8]x²+2；（1分）

（3）设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，（1分）
且点F的坐标为（t，-[1/8]t²+2），PC=t-4，PF=[1/8]t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴当△CPF中一个内角的正切值为[1/2]时，
①若[CP/PF＝
1
2]时，即[t−4

1/8t2−2＝
1
2]，解得t₁=12，t₂=4（舍）；（1分）
②当[PF/CP＝
1
2]时，

1
8t2−2
t−4＝

点评：
本题考点：二次函数综合题．

考点点评：本题旨在考查圆在坐标中出现的问题，圆与抛物线交点问题，以及三角形中正切的概念．

1年前

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