若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数 都成立,求正整数a

若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数 都成立,求正整数a的最大值,并证明
pingbj2008 1年前 已收到2个回答 举报
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LUWEILUN 幼苗

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f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)
f(n+1)-f(n)=1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)-1/(n+1)
=2/(3n+2)(3n+3)(3n+4)>0
f(n)递增
所以f(n)最小值为f(1)=13/12
1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.+1/(3n+1)>a/24 对一切正整数 都成立
所以a/24

1年前

1

好望角的天空 幼苗

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柯西不等式：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+..bn^2)>=(a1b1+a2b2+..anbn)^2
当a1/b1=a2/b2=...an/bn时,取等号.
所以：
[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+......+1/(3n+1)](n+1+n+2+n+3+....+3n+1)>(1+1+..+1)^2=(2n)^2=4n^2...

1年前

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