函数f（x）=[1/2]x2-mln1+2x+mx-2m，其中m＜0．

解题思路：（Ⅰ）先求出函数的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内取m的值讨论导函数的正负决定函数的增减性，得到函数的单调区间即可；
（Ⅱ）在x∈（-[1/2]，[g−1/2]]至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e+1成立，只需求出f（x）的最大值大于e+1即可求出m的范围．所以在根据第一问函数的增减性得到在x∈（-[1/2]，[g−1/2]]区间f（x）的最大值即可；
（Ⅲ）把m=-1代入求出f（x），然后构造辅助函数g（x）=f（x）-[1/3]x，求出g′（x）并讨论得到g（x）在（0，1）为减函数，对任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-[1/3]x₁＞f（x₂）-[1/3]x₂．即f（x₂）-f（x₁）＜[1/3]（x₂-x₁）解出即可得证．

（Ⅰ）易知f（x）的定义域为x∈（-[1/2]，+∞）．
f′（x）=x-[m/1+2x]+m=
2 x2+(2m+1) x
1+2x=
2x(x+m+
1
2)
1+2x．
由f′（x）=0得：x=0或x=-m-[1/2]．
∵m＜0，∴-m-[1/2]∈（-[1/2]，+∞）．
∴（1）当-[1/2]≤m＜0时，则x∈（-[1/2]，-m-[1/2]）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-m-[1/2]，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m＜-[1/2]时，则x∈（-[1/2]，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（0，-m-[1/2]）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m-[1/2]，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

（Ⅱ）在x∈（-[1/2]，[g−1/2]]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g+1成立，
等价于当x∈（-[1/2]，[g−1/2]]时，f（x）_max＞g+1．
∵m≤-[g/2]，∴[g−1/2]≤-m-[1/2]．
由（Ⅰ）知，x∈（-[1/2]，0]时，f（x）为增函数，x∈[0，[g−1/2]）时，f（x）为减函数．
∴在x∈（-[1/2]，[g−1/2]]时，f（x）_max=f（0）=-2m

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的最值及其几何意义；不等式的证明．

考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数的最值及几何意义，掌握利用函数增减性证明不等式的方法．